Integral Substitusi dan Integral Tak Tentu

Integral Substitusi
Dalam pengintegralan kita sering kesulitan karena masalah fungsi, misalkan adanya pangkat yang tinggi, bentuk akar, serta fungsi-fungi trigonometri. Untuk itu maka digunakan penggantian, atau disebut substitusi. karena itulah pada langkah ini dilakukan pemisalan.

Contoh :
$1. \int \left ( 3x-4 \right )^{10}dx=...$

dari bentuk ini yang kita lakukan adalah dengan memisalkan
misal y = 3x - 4
maka
$\frac{dy}{dx}=3$
sehingga
$dx=\frac{dy}{3}$
Jadi, bentuk integral menjadi

$\int \left ( 3x-4 \right )^{10}dx=\int y^{10}\frac{dy}{3}=\frac{1}{3}\int y^{10}dy=\frac{1}{3}.\frac{1}{11}y^{11}+c$
$=\frac{1}{33}\left ( 3x-4 \right )^{11}+c$

contoh 2
$\int x\left ( x^{2}+6 \right )^{14}dx=...$
misal :
y = x² + 6
maka
$\frac{dy}{dx}=2x$
sehingga
$dx=\frac{dy}{2x}$
Jadi :

$\int x\left ( x^{2}+6 \right )^{14}dx=\int xy^{14}\frac{dy}{2x}=\frac{1}{2}\int y^{14}dy=\frac{1}{2}.\frac{1}{15}y^{15}+c$

$= \frac{1}{30}\left ( x^{2}+6 \right )^{15}+c$

Integral Substitusi 2

Contoh 2 :
$\int x\left ( x^{2}+8 \right )^{19}dx = ...$

Jawab :
Misal y = x² + 8
maka
$\frac{dy}{dx}=2x$
Sehingga
$dx=\frac{dy}{2x}$

Maka
$\int x\left ( x^{2}+8 \right )^{19}dx = \int xy^{19}\frac{dy}{2x}=\frac{1}{2}\int y^{19}dy$
$= \frac{1}{2}.\frac{1}{20}y^{20} + c = \frac{1}{40}\left ( x^{2} + 8 \right )^{20} + c$

Contoh 3 :
$\int x^{3}\left ( x^{4} - 12 \right )^{24} dx = ...$

Jawab :
misal y = x⁴ - 12
maka
$\frac{dy}{dx}= 4x^{3}$
Akibatnya
$dx=\frac{dy}{4x^{3}}$
jadi

$\int x^{3}\left ( x^{4}-12 \right )^{24}dx = \int x^{3}y^{24}\frac{dy}{4x^{3}}=\frac{1}{4}\int y^{24}dy$
$\frac{1}{4}.\frac{1}{25}y^{25}+ c = \frac{1}{100}\left ( x^{4} - 12 \right ) + c$

Integral Substitusi 3

Contoh 4
Hitunglah Integral Berikut
$\int \left ( x+3 \right )\left ( x^{2}+6x+5 \right )^{12}dx=...$

Jawab :
misal y = x² + 6x + 5
maka
$\frac{dy}{dx}=2x+6$
sehingga
$dx=\frac{dy}{2x+6}=\frac{dy}{2(x+3)}$
Jadi :
$\int \left ( x+3 \right )\left ( x^{2}+6x+5 \right )^{12}dx =\int \left ( x+3 \right )y^{12}\frac{dy}{2(x+3)}=\frac{1}{2}\int y^{12}dy$

$=\frac{1}{2}.\frac{1}{13}y^{13}+c=\frac{1}{26}(x^{2}+6x+5)^{13}+c$

Contoh 5 :
Carilah hasil integral berikut
$\int (x^{2}-1)\sqrt{x^{3}-3x+5}dx=...$

Jawab :
misal : y = x³-3x+5
sehingga
$\frac{dy}{dx}=3x^{2}-3$
maka
$dx=\frac{dy}{3x^{2}-3}=\frac{dy}{3(x^{2}-1)}$
Dengan demikian
$\int (x^{2}-1)\sqrt{x^{3}-3x+5}dx = \int (x^{2}-1)\sqrt{y}.\frac{dy}{3(x^{2}-1)}=\frac{1}{3}\int y^{\frac{1}{2}}dy$
$=\frac{1}{3}.\frac{2}{3}y^{\frac{3}{2}}+c=\frac{2}{9}\left ( x^{3}-3x+5 \right )^{\frac{3}{2}}+c$

Integral Tak Tentu

Integral sering desebut dengan anti turunan.Hal ini karena memang integral diperoleh dengan membalik turunan. Perhatikan hitungan berikut

y = x⁵ maka y' = 5x⁴
y = x⁵ + 2 maka y' = 5x⁴
y = x⁵ + 100 maka y' = 5x⁴
y = x⁵ - 100 maka y' = 5x⁴

Jika bentuk ini dibalik dari kanan ke kiri maka diperoleh
$\int 5x^{4}dx=x^{5}+c$
dengan c adalah konstanta yang besarnya tidak tentu. Sesuai dengan turunan di atas mungkin anda akan berfikir bahwa nilai c adalah 0, 2, 100, atau -100. Ya, ini tidak salah. karena banyaknya kemungkinan selain kemungkinan di atas maka akhirnya disepakati dengan memakai c saja.

Dari sini bisa diambil kesimpulan bahwa

$\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}x^{n}+c$
dengan ketentuan $n\neq -1$
kenapa? Karena jika n = -1 maka penyebut di ruas kanan menjadi nol

Untuk n = -1 maka akan menjadi
$\int x^{-1}dx=\int \frac{dx}{x}=ln\left | x \right |+c$
dengan ln melambangkan logaritma natural.
ln x = ^elog x
dengan e = bilangan natural
Besarnya e adalah
e = 2,71828 .......
yang merupakan bilangan natural

Sifat-sifat integral tak tentu :
$1. \int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

$2. \int c.f(x)dx=c.\int f(x)dx$

Integral Tak Tentu 2

Soal-soal Integral tak tentu

$1. \int (x^{5}-6x^{2}-4x+3)dx = \frac{1}{5+1}x^{5+1}-\frac{6}{2+1}x^{2+1}-\frac{4}{1+1}x^{1+1}+3x+c$
$=\frac{1}{6}x^{6}-2x^{3}-2x^{2}+3x+c$

$3. \int 6(\sqrt{x}+\sqrt[5]{x})dx=\int 6(x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{5}})dx=6(\frac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{\frac{6}{5}}x^{\frac{6}{5}}+c)=6(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+\frac{5}{6}x^{\frac{6}{5}})+ c=4x^{\frac{3}{2}}+5x^{\frac{6}{5}}+c=4x\sqrt{x}+5x\sqrt[\sqrt[5]{x}]+c$

$4. \int \left ( \frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{8}{\sqrt[3]{x}} \right )dx=\int \left ( x^{-\frac{1}{2}}-8x^{-\frac{1}{3}}\right) dx =\frac{1}{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}-\frac{8}{\frac{2}{3}}x^{\frac{2}{3}} = 2\sqrt{x}-12\sqrt[3]{x^{2}}+c$

$5. \int \left \sqrt{2x} \right dx=\int \sqrt{2}\sqrt{x}dx=\sqrt{2}\int\ (x^{\frac{1}{2}})dx$
$= \sqrt{2}\frac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}}+c = \frac{2\sqrt{2}}{3}.x\sqrt{x}+c=\frac{2x\sqrt{2x}}{3}+c$

$6. \int \left ( \frac{dx}{\sqrt{2x}} \right )=\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int x^{-\frac{1}{2}}dx$

$= \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}+c = \frac{2}{\sqrt{2}}\sqrt{x}+c=\sqrt{2x}+c$

$7. \int \left ( 3x-4 \right )^{2}dx=\int \left ( 9x^{2}-24x+16 \right )=x^{3}-12x^{2}+16x+c$

source: http://web-matematika.blogspot.com/2010/08/integral-substitusi.html

Candra Aditya

Tuesday, July 19, 2011